SLAM数学基础（一）：向量与矩阵

2023-06-04

SLAM / SLAM数学基础

1 基础概念

点：点是空间中的基本元素，没有长度，没有体积。

基：基（Basis）是张成一个空间的一组线性无关的向量（有些书中也叫基底）。一个空间的基是有任意多组，但一组基只能张成一个空间。

向量：既有大小（长度），又有方向的量。向量用一般用有向线段来表示。（可以看成是从某点指向另一个点的箭头）

向量的本质是：空间中存在一定长度和方向的箭头。例如三维空间中，向量可以用三维坐标来表示，也可以用长度和角度（也就是极坐标）来表示。

因此，向量的加减法、内外积，其结果与坐标系的选取无关，不讨论坐标时也是可以计算的。

2 空间向量

2.1 标准正交基

正交基：在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组（向量长度不为1）称为正交基（orthogonal bases）。

标准正交基：在n维欧氏空间中，由n个单位向量组成的正交基称为标准正交基（Orthonormal Bases）。

标准正交基需要两个要素：正交(orthogonal 垂直)和标准（normal 长度为1）。

标准正交基与坐标系：单位向量互相垂直构成坐标系。

标准正交基 $\boldsymbol{Q}$ 的重要性质：

性质一：$\boldsymbol{Q}^T\boldsymbol{Q}=I$
性质二：$\boldsymbol{Q}^T = \boldsymbol{Q}^{-1}$

在一个线性三维空间中，$(\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3)$是该空间的一组标准正交基，那么任意向量 $\boldsymbol{a}$ 在这组基下就有一个坐标：

这里$(a_1, a_2, a_3)^T$ 称为 $\boldsymbol{a}$ 在此基下的坐标。

向量坐标的具体取值，一是和向量本身有关，二是和坐标系（基）的选取有关。坐标系通常由3个正交的坐标轴组成（尽管也可以有非正交的，但实际中很少见）。

坐标系有右手系和左手系，大部分3D程序库使用右手系（如OpenGL、3DMax等），也有部分库使用左手系（如Unity、Direct3D等）。

2.2 向量的内积

对于向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^3$通常意义下的内积可以写成:

内积可以描述向量间的投影关系。

2.3 向量的外积

对于向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\in\mathbb{R}^3$，外积公式如下（$(\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k})$是一组基）：

外积的方向：垂直于这两个向量
外积的大小：$\vert\boldsymbol{a}\vert\vert\boldsymbol{b}\vert\sin\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$，即：两个向量张成的四边形的有向面积。

3 一些特殊矩阵

3.1 反对称矩阵

上述表述中，其实目的是把向量外积改写成矩阵和向量的乘法，而这是一个线性运算，这对我们是有帮助的。公式中引入了一个符号 ^，把向量 $\boldsymbol{a}$ 写成一个矩阵，事实上这个矩阵是一个反对称矩阵（Skew-symmetric Matrix），可记为 $\boldsymbol{a}$^，符号 ^ 可记为反对称符号。

向量 $\boldsymbol{a}$ 的反对称矩阵为：$\boldsymbol{a}$^
反对称符号是一个一一映射，任意向量都对应着唯一的一个反对称矩阵，反之亦然
记反对称矩阵 $\boldsymbol{a}$^ = $\boldsymbol{A}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A}^T=-\boldsymbol{A}$ ，或记为： $\boldsymbol{A} = -\boldsymbol{A}^T$.

3.2 正交矩阵

<TODO>

3.3 投影矩阵

<TODO>

4 SLAM数学基础*系列笔记

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高翔、张涛等著《视觉SLAM十四讲》

https://zhuanlan.zhihu.com/p/162732832

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