SLAM数学基础（二）：坐标转换

1 坐标转换矩阵

1.1 旋转矩阵

旋转矩阵描述了一个旋转过程，可以用它来表示两个坐标系之间的旋转变换。也叫方向余弦矩阵。

相关性质：

• 旋转矩阵 $\boldsymbol{R}$ 是一个正交矩阵，且行列式为1（反之，行列式为1的正交矩阵就是一个旋转矩阵）；
• 旋转矩阵 $\boldsymbol{R}$ 的转置（也即 $\boldsymbol{R}$ 的逆，因为对于正交矩阵， $\boldsymbol{R}^{-1}=\boldsymbol{R}^T$ ）刻画了一个相反的旋转；
• 对加法不封闭，也就是说，对于任意两个旋转矩阵，按照矩阵加法定义相加，其结果不再是一个旋转矩阵；
• 乘法封闭；

三维旋转矩阵构成了特殊正交群$\boldsymbol{SO(3)}$。后续详述。

1.2 变换矩阵

变换矩阵描述了一个欧式变换过程，包含旋转 $\boldsymbol{R}$ 和平移 $\boldsymbol{t}$ 。

为方便书写和计算，将一次欧式变换中的旋转 $\boldsymbol{R}$ 和平移 $\boldsymbol{t}$ 写成变换矩阵 $\boldsymbol{T}$ 形式，向量坐标写成齐次坐标形式。

相关性质：

• 变换矩阵 $\boldsymbol{T}$ 中的旋转矩阵 $\boldsymbol{R}$ 如前所述，其相关性质依然具备；

• 两次变换的叠加可表示为变换矩阵的乘法：

$$
\boldsymbol{b}=\boldsymbol{T}_1\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{T}_2\boldsymbol{b},\qquad\Rightarrow \qquad\boldsymbol{c}=\boldsymbol{T}_2\boldsymbol{T}_1\boldsymbol{a},
$$

• 对加法不封闭，也就是说，对于任意两个变换矩阵，按照矩阵加法定义相加，其结果不再是一个变换矩阵；
• 乘法封闭；

三维空间下的变换矩阵构成了特殊欧式群$\boldsymbol{SE(3)}$。后续详述。

2 李群与李代数

2.1 何为群？

群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。

集合记为 $A$ ，运算记为 $\cdot{}$ ，那么群可以记作 $G=(A,\ \dot{}\ )$ 。群要求集合 $A$ 和运算 $\cdot{}$ 满足以下条件：

• 封闭性： $\forall{}a_1,a_2\in{}A，\qquad\ a_1\cdot{}a_2\in{}A$
• 结合律： $\forall{}a_1,a_2,a_3\in{}A，\quad(a_1\cdot{}a_2)\cdot{}a_3 =a_1\cdot{}\ (a_2\cdot{}a_3)$
• 幺元： $\exists{}a_0\in{}A,\qquad{}s.t.;\forall{}a\in{}A,\qquad{}a_0\cdot{}a=a\cdot{}a_0=a$
• 逆： $\forall{}a\in{}A,\qquad{}\exists{}a^{-1}\in{}A,\qquad{}s.t.;a\cdot{}a^{-1}=a$

常见的群：

• 整数的加法 $G=(\mathbb{Z},+)$
• 去掉0后的有理数的乘法 $G=(\mathbb{Q}\setminus0,\cdot{})$

常见的矩阵中的群：

• 一般线性群 $GL(n)$ 指 $n\times{}n$ 的可逆矩阵，他们对矩阵乘法成群。
• 特殊正交群 $SO(n)$ 也就是所谓的旋转矩阵群，其中$SO(2)$和$SO(3)$最为常见。
• 特殊欧式群 $SE(n)$ 也就是前面提到的n维欧氏变换，如$SE(2)$和$SE(3)$ 。

2.2 何为李群

李群是指具有连续（光滑）性质的群。

类似整数群 $\mathbb{Z}$ 那样离散的群没有连续性质，所以不是李群。

$SO(n)$ 和 $SE(n)$ 在实数空间上是连续的。我们能够直观地想象一个刚体能够连续地在空间中运动，所以它们都是李群。

特殊正交群SO(3)

特殊欧式群SE(3)

李代数的理解

3 补充知识点

记 $\ast{}$ 是非空集合 $S$ 上的二元运算：

• 幺元（也称单位元），当：

  $\exists{}e\in{}S,\qquad{}s.t.;\forall{}x\in{}S,\qquad{}e\ast{}x=x\ast{}e=x$ ，那么就称 $e$ 是 $(S,*)$ 的幺元。

  幺元具有不变性。

  【举例】：

  实数集合 $\mathbb{R}$ 上的加法运算中，0就是幺元；

  实数集合 $\mathbb{R}$ 上的乘法运算中，1就是幺元。

• 零元，当：

  $\exists{}o\in{}S,\qquad{}s.t.;\forall{}x\in{}S,\qquad{}o\ast{}x=x\ast{}o=o$ ，那么就称 $o$ 是 $(S,*)$ 的零元。

  【举例】实数乘法运算中，零元就是对任意元x，都有xa=ax=a，则a为零元，因此0即为零元。

• 逆元，当：

  $\forall{}a\in{}S,\qquad{}s.t.;\exists{}b\in{}S,\qquad{}a\ast{}b=b\ast{}a=e$ ，那么 $a$ 和 $b$ 互为逆元， $a$ 是 $b$ 的逆元，同时 $b$ 是 $a$ 的逆元。

  【举例】实数乘法运算中，互为倒数的两个数互称逆元，2和1/2互为逆元，1和其本身互为逆元;

4 SLAM数学基础*系列笔记s

• SLAM数学基础（一）：向量与矩阵

• SLAM数学基础（二）：坐标转换

• SLAM数学基础（三）：概率论基础概念及相关公式

• SLAM数学基础（四）：理解极大似然估计

• SLAM数学基础（五）：理解最大后验概率估计

• SLAM数学基础（六）：最小二乘法

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高翔、张涛等著《视觉SLAM十四讲》